Батат и тыкву почистить и порезать небольшими кусочками. Отварить тыкву и батат по отдельности до мягкого состояния. Осушить.
В большой толстостенной кастрюле разогреть половину сливочного масла, высыпать репчатый лук, готовить около 4-5 минут, до мягкого состояния.
Положить филе в кастрюлю с луком, залить 300 граммами воды, довести до кипения, уменьшить огонь, варить рыбу около 10 минут. Достать рыбу из кастрюли, переложить на тарелку, дать остыть. Рыбный бульон отставить в сторону.
Остывшую рыбу разобрать на крупные кусочки, кости и шкурку удалить. Отложить рыбу в сторону.
Батат протереть через сито, добавить оставшееся сливочное масло, посолить и поперчить пюре по вкусу. Рыбный бульон процедить и перелить обратно в чистую кастрюлю. Выложить в эту же кастрюлю пюре из батата и налить молоко, на среднем огне довести до кипения, готовить суп-пюре из батата 2-3 минуты. Ввести в суп-пюре из батата кусочки тыквы, рыбу, базилик и сливки. Посолить и поперчить суп-пюре по вкусу, подогреть на среднем огне, но не доводить до кипения. Подавать суп-пюре из батата в порционных тарелках сразу же.